概率统计在金融中的应用 下载本文

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

??1??1?t(n?2) 2?Sxx?且E(?1)??0?0,即得H的拒绝域为:

0 t?此处?为显著性水平。

当假设H被拒绝时,认为回归效果是显著的,反之,就认为回归效果不显著。

0?1???Sxx?t?2)n?2

回归效果不显著的原因可能有如下几种:

(1)影响Y的取值,除了x及随机误差外还有其它不可忽略的因素; (2)?(x)不是x的线性函数,而是其它形式的函数; (3)Y与x不存在关系。

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河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

第三章 概率统计在金融中的应用实例

3.1引言

概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。

3.2实例举例

3.2.1.在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。

例 1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y 和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为

p1?0.2,p2?0.7, p3?0.1 ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资

的年收益(万元) ,见表1

表3.1 各种投资年收益分布表

房产 地产 商业 好 中 差 p1?0.2 11 6 10 p2?0.73 4 2 p3?0.1 -3 -1 -2 请问:该投资者如何投资好?

解:我们先考察数学期望,可知

E?x??11?0.2?3?0.7???3??0.1?4.0

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E?y??6?0.2?4?0.7???1??0.1?3.9 E?z??10?0.2?2?0.7???2??0.1?3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:

D?x???11?4??0.2??3?4??0.7???3?4??0.1?15.4

D?y???6?3.9??0.2??4?3.9??0.7???1?3.9??0.1?3.29 D?z???10?3.?2?22222220.??2?2?2???0.?7?3.2??223.?20. 112.96因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大。

分析:根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但是从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

概率统计中特有的期望、方差等统计量本身的计算过程就蕴含着一定的模型意义,它的这种模型意义正好和金融中很多的抽象的概念相吻合,使一些其他数学方法无法解决的问题变得容易很多,这些特征量和金融结合起来使得到各结果都更加的令人满意。

3.2.2.在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展,火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性,以及发生后导致的经济损失大小。之后可以根据这些估计出来的数据来购买相应的保险产品。下面的例子就是以参数估计为方法来说明它在这一方面的应用。

例 2 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N??,?2? ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。根据这些数据估计平局损失数据。

表3.2 仓库货物损失金额表

货物损失金额(元) 1000 次数 2 2000 1 3000 4 5000 1 解:利用矩估计法或最大似然估计法可知: ?, ?2的矩估计量分别为:

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—1n???Xi?Xni?11n2,???(Xi?X)

ni?12利用上面两个公式并结合表2中的数据可计算出:

1???1000?2?2000?1?3000?4?5000?1??2625812222?2???1000?2625??2??2000?2625???3000?2625??4??5000?2625??^

?8??1101562.5

??1049.55 分析:从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55 元。所以我们在为这些仓库物品购买保险的时候,可以参考这些数据,购买相应的险种,以及确定该险种的数量和相应金额。将估计理论应用于金融、保险中,对金融、保险中的极值事件建立模型,并以我国实际的股票收益率数据和医疗及巨灾保险索赔数据进行实证分析,达到了对金融、保险中的极值风险进行有效度量的目的。

3.2.3.在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,虽然在数学方法中有很多方法都可以用来进行求解最大利润的问题,但是概率统计中的随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例 3 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

解:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

设公司组织该货源a吨,则显然应该有300?a?500,又记y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即y?g?x?,由题设条件知: 当x?a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a;

当x?a时,则售出x吨(获利1.5x),且还有(a?x)吨积压,损失为:

(获利?0.5?a?x?) ,所以共获利:[1.5x?0.5?a?x?],由此得:

a    X?aY?g?x???1.52X? 0.5a X?a

从而得:

E?y?????g?x?px?x?dx??300g?x???5001dx 200 15

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50011 ???2x?0.5a?dx??1.5adx

300a2002001 ??a2?900?3002? ?200a 分析:由上述计算式子可以看出E?y?是正好是a的二次函数,用通常求极值的方法就可以求得,当a?450吨时能够使得期望的利润达到最大。

在此,我们应用了概率统计中的随机变量函数期望这个知识点,由本题可以看出概率统计中的很多统计量本身就具有数学模型的性质,而且它本身计算过程就蕴含着某些经济和金融中的现实事例。从中我们可以看到概率统计和金融学有一种天然的契合,相互融合,相互解释,相互促进。同时,概率统计结合高等代数等数学知识,给予金融更丰富的意义和满意的解释。

3.2.4.在经济预测中的应用

现代风险管理中多运用衍生金融工具,如金融期权、期货、互换交易中进行风险的对冲。这些衍生工具的定价需要很专业的定价模型,而且定价模型中有许多希腊字母代表的概念,如 Delta 值、Gamma 值、Vega 值,正是这些值的加权求和,最终降低损失程度。这些值的运算中需要综合数学中各个方面的方法,如求导、求偏导、概率分布函数、顺序统计量等各种方法,概率统计作为重要的应用,为风险管理提供了精确的数学逻辑推导。同时,根据各个资产或者证券的历史价格,我们也可以合理地推算出该资产或者证券价格的合理区间。

例 4 收集了 2012 年 4月5日至2012 年 5月 11 日 25 个交易日的股指 2512.832 2520.036 2519.830 2570.436 历史数据,假定其置信水平为 0.95,计算其置信区间。

表3.3 股票指数 2495.146 2580.454 2519.788 2574.044 解:根据t 分布这里1-a=0.95,a/2 =0.025,n-1 =24t,2626.839 = 2.064 , t0.025(24) 2541.883 2599.908 2596.056 我们算出,s=66.72108。得到u的一个置信水平为0.95的置信区2606.038 :x=2608.8492604.866 2625.990 2631.487 间:(2608.849±66.72108/5×2.064)即:( 2636.391。我们预测估计2626.157 2683.487 2691.518 ,2581.307)2715.879 沪深300指数在区间(2636.391,2581.307)的可信度为95%。 2717.778 2636.917 2709.116 2657.514 2657.214 总之,我们可以通过某个参数满足不同概率分布时,利用该参数的区间估计方法,推算置信水平( 可靠度) 。概率统计理论中对概率分布的描述,统计量的 解:我们知道置信区间是(x?s),根据t分布这里1-a =0.95,a/2 =0.025,n-1 =24t,t0.025( 24) = 2.064 ,我们算出: x = 2608.849,s =66.72108。 分析:得到u的一个置信水平为0.95的置信区间:(2608.849±66.72108/5×2.064),即(2636.391,2581.307)。我们预测估计沪深 300 指数在区间

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