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2008信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编

第五章 常微分方程数值解

姓名 学号 班级

习题主要考察点:欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。

?y???10y?y(0)?1证明当h?0.2时,欧拉法绝对稳定。

1. 对于初值问题,?(欧拉法稳定性的讨

论)

2. 证明:隐式的梯形公式

性讨论)

无条件稳定。(稳定

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2x?'y?y??y??3. 用龙格-库塔方法对方程?y(0)?1取h?0.2在区间?0,1?上计算。(龙格-库塔方

法的应用)

?y??y?1?y(0)?0取h=0.2, 求x=0.2,

4. 用四阶龙格-库塔法求解初值问题?0.4时的数值解. 要

求写出由h,xk,yk直接计算yk+1的迭代公式,计算过程保留3位小数。(龙格-库塔方法的应用)

5. 设有常微分方程的初值问题试用Taylor展开原理构造形如

的方法,使具有二阶精度,并推导其局部截断

误差主项。(积分余项的计算)

6. 已知

?y'?2x,0?x?100??y(0)?0,y1?y(0.1)?0.01,h?0.1试求出Adams公式

yn?1?yn?的应用)

h'(3yn?y'n?1)y(Adams公式2的局部截断误差的首项,并由此公式计算5。

?y'??xy2?7. 用Adams方法对方程?y(0)?2取h?0.2在区间?0,1?上计算。(Adams公式的应用)

第六章 非线性方程求根

姓名 学号 班级

习题主要考察点:二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和稳定性讨论。

1. 用二分法求方程x?x?1?0的正根,要求误差小于0.05。(二分法)

2. 说明方程x?lnx?4?0 在区间[1,2]内有惟一根x,并选用适当的迭代法求x(精确至3位有效数),并说明所用的迭代格式是收敛的。(迭代法)

323. 设方程x?4x?10?0在 [1,2]

22**内

?,试写出迭代公式

xk?1??(xk)k?0,1,2,?,使 ?xk??? 。(迭代法构造)

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4. 设有解方程

不超过

的迭代法

为方程的根);(2) 取

(1)证明均有

用此迭代法求方程根的近似值,误差

,列出各次迭代值;(3)此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。(迭代

法和收敛性讨论)

5. 设x???(x?),??max??(x)?1证明 由xn?1??(xn)n?0,1,? ,得到的序列

?xn?收敛于x? 。 (收敛性证明)

*6. 设有解方程3-3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x,若采用如下迭代公式

2xn?1?1?sinxn证明?x0?R均有limxn?x*(x*为方程的根);取x0?0,要迭

n??3*?6代多少次能保证误差xk?x?10?此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。(迭

代法和收敛性讨论)

327. 方程x?x?1?0在x0?1.5附近有根,把方程写成3种不同的等价形式:

11x?1?x?1?2n?12xnx,对应迭代格式:(1)

2332x?1?xn?1nx?1?x(2),对应迭代格式: 11x?n?1x?xn?1 x?1,对应迭代格式:(3)

判断迭代格式在x0?1.5的收敛性,并估计收敛速度,选一种收敛格式计算出

2x0?1.5附近的根到4位有效数字,从x0?1.5出发,计算时保留5位有效数字。(收

敛速度的计算和比较) 8. 设

(1) 写出解

的Newton迭代格式;(2) 证明此迭代格

式是线性收敛的。 (牛顿迭代的构造) 9. 试述解非线性方程

的Newton迭代法的计算格式,并设计一个计算

)。(牛顿迭代法)

Newton迭代法,且不用除法(其中

10. 用牛顿法求115的近似值,取x=10或11为初始值,计算过程保留4位小数。(牛

顿迭代的构造)

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11. 设x是非线性方程f(x)?0的m重根,证明:用迭代法xk?1?xk?m有2阶收敛速度。(收敛速度证明) 12. 设?(a)?a,?(x)在

*f(xk)具

f'(xk)a附近有直到p阶的连续导数,且

??(a)????(p?1)(a)?0,?(p)(a)?0,试证迭代法xn?1??(xn)在a附近是p阶收敛的。 (收敛速度证明)

13. 设x是非线性方程f(x)?0的m重根,证明:用牛顿迭代法求x只是线性收敛。

(收敛速度证明)

14. 用弦截法求方程x-sinx-0.5=0在[1.4,1.6]之间的一个近似根,满足

(弦截法) xk?1?xk?0.01,计算过程保留4位小数。

第七章 线性方程组的直接解法

姓名 学号 班级

习题主要考察点:高斯消去法,LU分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。

**1. 2.

?234??x1??0??119??x???2????2????12?6????1??。 (?x3???用高斯消去法解方程组?(高斯消去法的应用)

证明:(1)两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵。(2)下三角矩阵的逆仍为下三角矩阵。(L,U矩阵的性质)

3.

?2x1?x2?x3?0?用LU分解法求解线性方程组: ?x1?x2?x3?3。(LU分解法的应用)

?x?x?2x?123?1 9

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4.

?2?11???设A?4?12,求A的LU分解。(LU分解法的应用) ????2?23???2?11??x1??1???????1??x2???1?。5. 用平方根法求解线性方程组?11(平方根法的应用)

?11?2??x??1????3???6. 试用“追赶法”解方程组赶法的应用)

,其中:, (追

?12???7. 设A?1?1,求cond(A)2.(条件数的计算) ????11??I?1,A?1?8. 求证:

1A(

(范数的性质)

A9. 求证:

22?A1A?(范数的性质)

??210?1?21A???01?2??001?10. 对矩阵

数,条件数的计算) 11. 方程组

程组变化为

,其中

0?0???1?2求A?,A2,A1和Cond(A)2。?(范

,A是对称的且非奇异。设A有误差

,其中

,则原方

为解的误差向量,试证明

其中和

(范数的性质,误差的分析)

分别为A的按模最大和最小的特征值。

12. 证明:如果A?(aij)n?n是严格对角占优矩阵,则A为非奇异阵。(严格对角

占优矩阵的性质)

13. 设A是任意n?n阶矩阵,由A的各次幂所组成的矩阵序列

I,A,A?,,A?,收敛于零矩阵,即k??

2klimAk?0的充分必要条件是?(A)?1

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